1. 서론

“나에게는 조상이 몇 명 있는가?”라는 질문은 표면적으로는 단순한 산술 문제이지만, 실제로는 인구학·유전학·역사학이 교차하는 복합적 문제이다. 개인의 가계도를 거슬러 올라가면 세대마다 조상의 수는 두 배가 되며, 이는 n세대 위에서 2ⁿ이라는 지수적 증가를 낳는다. 그런데 이 산술적 사실을 역사적 인구 규모와 대조하는 순간, 즉각적인 모순이 드러난다. 500~600년 전 한반도의 총인구보다 이론적 조상 수가 더 커지는 역설이 그것이다.

본 논문의 목적은 이 역설을 해소하는 과정에서 등장하는 계보 붕괴(pedigree collapse) 개념을 정량적으로 정식화하고, 이를 바탕으로 조선 시대 신분 구성에 관한 확률적 명제—구체적으로 “한국인 개인의 조상 중 노비 신분자가 단 한 명도 없을 확률”—을 수리통계적으로 검토하는 것이다. 특히 기존의 순진한 계산(0.7^N, N = 위치적 조상 수)이 지니는 방법론적 결함을 지적하고, 인구유전학의 응집 이론에 기반한 수정 모형을 제시한다.

본 논문의 기여는 다음 세 가지로 요약된다. 첫째, 위치적 조상 수와 구별되는 조상 수를 명확히 구분하고, 양자의 관계를 인구 규모의 함수로 정식화한다. 둘째, 조선 인구에 대한 응집 이론적 추정을 통해 동일 조상 지점이 조선 전기에 놓일 가능성을 보인다. 셋째, 신분 조상 부재 확률에 대한 수정 모형을 제시하고, 결론의 견고성이 조상 수의 절대적 크기가 아닌 독립 표본 수에 의존함을 증명한다.

2. 위치적 조상 수의 지수적 증가

2.1 기본 모형

세대 간격을 일정하다고 가정하고, 현재 세대를 n = 0이라 하자. n세대 위의 위치적 조상(positional ancestor) 수는 다음과 같다.

이는 부모 2명, 조부모 4명, 증조부모 8명이라는 기본적 사실의 일반화이다. 세대 간격을 평균 25년으로 놓으면, 조선 후기(약 250년 전)는 n ≈ 10, 조선 전기(약 500~600년 전)는 n ≈ 20~24에 해당한다.

주: 위치적 조상 수는 가계도의 노드 수를 세는 것이며, 동일인이 여러 위치에 중복 등장할 수 있음을 배제하지 않는다. 실제로는 후술하는 계보 붕괴로 인해 구별되는 조상 수는 이보다 훨씬 작다.

2.2 인구 규모와의 모순

조선 초·전기의 한반도 인구는 대략 400만~1,000만 명 수준으로 추정된다.¹ 반면 식 (1)에 따르면 24세대 위의 위치적 조상 수는 약 1,677만 명으로, 당시 총인구를 상회한다. 이 모순은 산술의 오류가 아니라 모형의 오류에서 비롯된다. 식 (1)은 모든 조상이 서로 다른 사람이라고 암묵적으로 가정하지만, 실제 가계도에서는 동일인이 여러 경로를 통해 조상으로 등장한다.

3. 계보 붕괴와 구별되는 조상 수

3.1 계보 붕괴의 정의

계보 붕괴(pedigree collapse)란 친족 간 혼인이 누적되면서 가계도의 서로 다른 위치가 동일한 개인을 가리키게 되는 현상이다. 예컨대 4촌 간 혼인에서 태어난 자녀는 4명의 조부모 대신 3명의 구별되는 조부모만을 갖는다. 세대가 거슬러 올라갈수록 이러한 중첩은 기하급수적으로 누적된다.

구별되는 조상 수를 D(n)이라 하면, 항상 다음이 성립한다.

여기서 N_pop(n)은 n세대 위 시점의 유효 인구 규모이다. 즉 구별되는 조상 수는 지수 함수와 인구 상한 중 작은 값에 의해 제약된다. 24세대 위에서 N_pop ≈ 700만이라면, D(24)는 이론적 1,677만이 아니라 700만 이하로 제한된다.

3.2 매끄러운 보간 모형

무작위 혼인 가정 하에서 D(n)의 기대값에 대한 실용적 근사는 다음과 같다.

이 근사는 2ⁿ ≪ N일 때 D ≈ 2ⁿ으로, 2ⁿ ≫ N일 때 D → N으로 수렴한다. 즉 초기에는 지수적으로 증가하지만, 인구 상한에 근접하면서 증가율이 둔화된다. 전환점은 2ⁿ ≈ N, 즉 n ≈ log₂N에서 발생한다.

3.3 동일 조상 지점 (Identical Ancestors Point)

창(Chang, 1999)은 무작위 혼인하는 집단에서 동일 조상 지점까지의 세대수가 대략 log₂N에 비례함을 보였다.² 이 지점을 넘어서면, 그 시점에 살았던 사람들 중 오늘날 생존 후손을 남긴 사람은 모든 현대인의 조상이 되고, 후손을 남기지 못한 사람은 어느 현대인의 조상도 아니다. 중간 상태가 소멸하는 것이다.

한국 인구에 적용해 보자. 조선 전기 유효 인구를 N ≈ 5×10⁶으로 놓으면,

세대 간격 25~30년을 적용하면 약 560~670년 전, 즉 대략 14~15세기에 해당한다. 이는 제시된 “600년 전 조선 초” 추정과 놀랍도록 일치한다. 즉 조선 전기에 후손을 남긴 거의 모든 사람은 오늘날 한국인 전체의 공동 조상이며, 조선 시대의 신분 구성은 현대 한국인의 계보에 이론적으로 전면적으로 반영된다.

4. 신분 조상 부재 확률의 통계적 모형

4.1 순진한 모형 (Naive Model)

조선 전기 인구의 30~40%가 노비였다고 하자. 각 조상이 독립적으로 확률 p = 0.3으로 노비였다면, N명의 조상이 모두 노비가 아닐 확률은 이항분포의 0회 성공 확률, 즉

위치적 조상 수 N = 2¹⁰ = 1,024를 대입하면,

이는 관측 가능한 우주의 원자 수(≈10⁸⁰)보다 무려 79자릿수나 작은 값이다. 수백만 명의 조상으로 확장하면 0.7^10⁶ ≈ 10^−154,900이 되어, “완벽한 0%”라는 서술은 사실상 타당하다.

4.2 수정 모형: 구별되는 조상 수 D의 사용

그러나 식 (5)는 N을 위치적 조상 수로 놓았다는 결정적 결함을 지닌다. 계보 붕괴가 발생하면 동일인이 여러 위치에 중복 등장하므로, 독립적인 “추첨”의 횟수는 2ⁿ이 아니라 구별되는 조상 수 D(n)이다. 올바른 모형은

이다. 식 (7)은 식 (5)보다 훨씬 보수적이다. D가 작을수록 “노비 조상이 없을 확률”은 커지기 때문이다. 그렇다면 D가 얼마나 커야 결론이 유지되는가?

4.3 임계값 분석

확률이 목표 수준 ε 미만이 되기 위한 최소 구별 조상 수 D^*는 식 (7)을 D에 대해 풀어 얻는다.

주: D* = ln ε / ln(1−p). p = 0.1은 노비 비율을 보수적으로 낮게 잡은 민감도 분석. p = 0.3은 조선 전기 노비 비율의 통상적 추정치.

4.4 민감도 분석

노비 비율을 30%가 아닌 10%로 낮추어도(p = 0.1), 1% 확률 임계값은 D^* = 44명에 불과하다. 조선 전기 인구의 노비 비율에 관한 역사학적 추정이 20~40% 범위에서 변동하더라도, 결론의 질적 방향은 바뀌지 않는다. 이는 모형이 매개변수에 대해 견고(robust)함을 보여준다.

5. 모형의 한계와 비판적 검토

5.1 독립성 가정과 동족혼

식 (5)와 식 (7)은 각 조상의 신분이 독립적으로 추첨된다고 가정한다. 그러나 조선 사회는 신분 내혼(endogamy)이 강했으며, 양반은 양반끼리, 노비는 노비끼리 혼인하는 경향이 있었다. 독립성 가정이 위배되면 유효 표본 수가 감소하여 확률이 다소 상승한다. 다만 5.3절에서 보듯, 유효 표본 수가 수십 명 수준으로 감소하더라도 결론은 유지된다.

5.2 계보적 조상과 유전적 조상의 구별

본 논문의 “조상”은 계보적 조상(genealogical ancestor)이다. 이는 유전적 조상(genetic ancestor)과 구별되어야 한다. 상염색체 유전자는 세대마다 재조합되며, n세대 위 조상으로부터 물려받는 평균 유전적 기여도는 2⁻ⁿ이다. 10세대 위 조상 1,024명 중 상당수는 실제로 검출 가능한 DNA를 전혀 남기지 않았을 수 있다. 따라서 “조선 시대 노비의 유전자를 물려받았다”는 명제는 계보적 차원에서는 확실하지만, 개별 조상 단위의 유전적 검출 가능성은 별개의 문제이다.

5.3 신분제의 투과성

조선의 신분제는 고정된 계급 체계가 아니었다. 노비는 해방(免賤)될 수 있었고, 조선 후기에는 납속(納粟) 등을 통해 양반 신분을 획득하는 사례가 급증했다. 따라서 “노비 조상”과 “양반 후손”은 배타적 범주가 아니며, 한 가계 내에서 신분 상승이 발생할 수 있었다. 이는 확률 모형의 이분법적 범주화에 대한 중요한 한계이다.

5.4 지리적 하부구조와 유전자 이동

한반도 내에서도 지역 간 이동성에는 차이가 있었다. 그러나 20세대 이상의 시간 척도에서는 지역적 하부구조가 충분히 혼합되어, 동일 조상 지점이 전국 규모로 성립할 가능성이 높다. 다만 제주도 등 격리된 지역의 경우 별도의 분석이 필요하다.

6. 결론

본 논문은 세대별 조상 수의 지수적 증가, 계보 붕괴, 그리고 조선 시대 신분 조상 부재 확률을 수리통계적으로 분석하였다. 주요 결론은 다음과 같다.

1. 위치적 조상 수는 2ⁿ으로 증가하며, 24세대 위에서 약 1,677만 명에 달한다. 그러나 이는 구별되는 조상 수가 아니며, 실제로는 인구 상한에 의해 제약된다.
2. 조선 전기 유효 인구(N ≈ 5×10⁶)에 대한 응집 이론적 추정에 따르면, 동일 조상 지점은 약 22세대 위, 즉 14~15세기에 위치한다. 이는 “조선 전기에 후손을 남긴 거의 모든 사람이 현대 한국인의 공동 조상”이라는 명제를 이론적으로 뒷받침한다.
3. “노비 조상이 하나도 없을 확률”에 대한 순진한 모형(0.7¹⁰²⁴ ≈ 10⁻¹⁵⁹)은 수학적으로 정확하지만, 계보 붕괴를 무시한다는 방법론적 결함을 지닌다. 구별되는 조상 수 D를 사용하는 수정 모형에서도, D ≥ 13이면 확률은 1% 미만으로 떨어진다.
4. 따라서 결론의 견고성은 극단적 조상 수가 아니라 독립적 조상 표본의 수가 조악하게 작지 않다는 사실에 기인한다. 노비 비율을 10%로 보수적으로 낮추어도 결과는 유지된다.
5. 다만 동족혼, 신분제의 투과성, 계보적 조상과 유전적 조상의 구별, 지리적 하부구조 등의 한계를 고려할 때, 본 모형은 방향성과 규모의 차수(order of magnitude)에 관한 결론으로 한정 해석되어야 한다.

“조상의 수는 지수적으로 증가하지만, 조상의 정체는 인구 규모에 의해 수렴한다. 확률적 결론의 힘은 후자—구별되는 조상의 수—에서 나온다.”